ГДЗ до вправи 4.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = 2\sqrt{x} - 1 \Rightarrow 2\sqrt{x} = y + 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2} \Rightarrow x = \frac{(y + 1)^2}{4}$

Враховуючи $\sqrt{x} \ge 0$, маємо $\frac{y + 1}{2} \ge 0 \Rightarrow y \ge -1$.

Відповідь: $y = \frac{(x + 1)^2}{4}, \ D(f^{-1}) = [-1; +\infty)$

---

2) $y = x^2$ на $D(y) = (-\infty; 0] \Rightarrow |x| = \sqrt{y}$. Оскільки $x \le 0$, то $-x = \sqrt{y} \Rightarrow x = -\sqrt{y}$

Відповідь: $y = -\sqrt{x}$

1) $y = 2\sqrt{x} - 1$. Спочатку знайдемо область значень початкової функції. Оскільки $\sqrt{x} \ge 0$, то $y \ge 2 \cdot 0 - 1$, тобто $y \in [-1; +\infty)$. Виражаємо $x$: $2\sqrt{x} = y + 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2}$. Піднесемо до квадрата: $x = \frac{(y + 1)^2}{4}$. Обернена функція: $y = \frac{(x + 1)^2}{4}$ з областю визначення $x \ge -1$.

2) $y = x^2$ на проміжку $x \in (-\infty; 0]$. На цьому проміжку функція спадає і є оборотною. Виражаємо $x$: $\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x|$. Оскільки за умовою $x \le 0$, то $|x| = -x$. Маємо $\sqrt{y} = -x$, звідки $x = -\sqrt{y}$. Замінюємо змінні та отримуємо обернену функцію $y = -\sqrt{x}$.