ГДЗ до вправи 40.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Для знаходження проміжків монотонності та екстремумів використовуємо алгоритм: ОДЗ, $f'(x) = 0$, аналіз знаків похідної.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2} \Rightarrow f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 6)(x - 2)}{(x + 2)^2}$. Критичні точки: $-6, 2$. Зростає на $(-\infty; -6]$ та $[2; +\infty)$, спадає на $[-6; -2)$ та $(-2; 2]$. Точки: $x_{max} = -6, x_{min} = 2$.

---

2) $f(x) = x + \frac{9}{x} \Rightarrow f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2}$. Критичні точки: $-3, 3$. Зростає на $(-\infty; -3]$ та $[3; +\infty)$, спадає на $[-3; 0)$ та $(0; 3]$. Точки: $x_{max} = -3, x_{min} = 3$.

---

3) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 3} \Rightarrow f'(x) = \frac{6x}{(x^2 + 3)^2}$. Критична точка: $0$. Спадає на $(-\infty; 0]$, зростає на $[0; +\infty)$. Точка: $x_{min} = 0$.

---

4) $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2} \Rightarrow f'(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}$. Точка розриву: $-1$. Зростає на $(-\infty; -1)$, спадає на $(-1; +\infty)$. Екстремумів немає.

---

5) $f(x) = \frac{1}{16 - x^2} \Rightarrow f'(x) = \frac{2x}{(16 - x^2)^2}$. Критична точка: $0$. Спадає на $(-\infty; -4)$ та $(-4; 0]$, зростає на $[0; 4)$ та $(4; +\infty)$. Точка: $x_{min} = 0$.

---

6) $f(x) = 2x - \sqrt{x}$. ОДЗ: $[0; +\infty)$. $f'(x) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $f'(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0,25 \Rightarrow x = 0,0625 = \frac{1}{16}$. Спадає на $[0; \frac{1}{16}]$, зростає на $[\frac{1}{16}; +\infty)$. Точка: $x_{min} = \frac{1}{16}$.

• У пунктах 1-5 важливо пам'ятати, що знаменник похідної (зазвичай квадрат) додатний в ОДЗ, тому знак похідної залежить лише від чисельника.
• У пункті 6 досліджуємо функцію лише на області допустимих значень $x \ge 0$.
• Зміна знака похідної з «+» на «–» дає точку максимуму, а з «–» на «+» — точку мінімуму.