До змісту

ГДЗ до вправи 41.5 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 41.5

Знайдіть найбільше і найменше значення функції ff на вказаному відрізку:

1) f(x)=sin⁡x−cos⁡x,[0;π]f(x) = \sin x - \cos x, [0; \pi];

2) f(x)=x3−cos⁡2x,[−π2;π2]f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x, \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right].

Розв'язок вправи № 41.5

Коротке рішення

1) f′(x)=cos⁡x+sin⁡xf'(x) = \cos x + \sin x. f′(x)=0⇒tan⁡x=−1⇒x=3π4f'(x) = 0 \Rightarrow \tan x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} на [0;π][0; \pi].

f(0)=−1f(0) = -1; f(π)=1f(\pi) = 1; f(3π4)=sin⁡3π4−cos⁡3π4=22−(−22)=2f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}.

Відповідь: max⁡=2,min⁡=−1\max = \sqrt{2}, \min = -1.

2) f′(x)=3+2sin⁡2xf'(x) = \sqrt{3} + 2 \sin 2x. f′(x)=0⇒sin⁡2x=−32⇒2x=−π3+2πkf'(x) = 0 \Rightarrow \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k або 2x=−2π3+2πk2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k.

Критичні точки на [−π2;π2]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]: x1=−π6x_1 = -\frac{\pi}{6} та x2=−π3x_2 = -\frac{\pi}{3}.

f(−π2)=1−π32≈−1,72f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx -1,72; f(π2)=1+π32≈3,72f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx 3,72; f(−π3)=12−π33≈−1,31f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \approx -1,31; f(−π6)=−12−π36≈−1,41f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \approx -1,41.

Відповідь: max⁡=1+π32,min⁡=1−π32\max = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}, \min = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Найбільше та найменше значення тригонометричної функції на відрізку шукають серед значень у критичних точках (де похідна дорівнює нулю) та значень на кінцях відрізка. Теорія: Найбільше і найменше значення функції.

  • У першому пункті похідна суми функцій веде до розв'язання найпростішого тригонометричного рівняння для тангенса. Оскільки 2>1\sqrt{2} > 1, це значення стає найбільшим.
  • У другому пункті при знаходженні похідної використовується правило диференціювання складеної функції: (cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)' = -2 \sin 2x.
  • Порівняння ірраціональних значень у другому пункті зручніше проводити шляхом наближених обчислень, де π≈3,14\pi \approx 3,14 та 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73.

Популярне у 10 класі