До змісту

ГДЗ до вправи 44.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 44.13

Розв’яжіть нерівність:

1) x2+x−20x2−6x+9⩾0\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \geqslant 0;

2) x2+x−20x2−6x+9<0\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0.

Розв'язок вправи № 44.13

Коротке рішення

1) x2+x−20x2−6x+9⩾0\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \geqslant 0

(x+5)(x−4)(x−3)2⩾0\frac{(x + 5)(x - 4)}{(x - 3)^2} \geqslant 0. Нулі чисельника: −5,4-5, 4. Нуль знаменника: 33.

На числовій осі: знак не змінюється при переході через x=3x=3 (парний степінь). Проміжки: (−∞;−5]∪[4;+∞)(-\infty; -5] \cup [4; +\infty).

Відповідь: (−∞;−5]∪[4;+∞)(-\infty; -5] \cup [4; +\infty).

2) x2+x−20x2−6x+9<0\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} < 0

(x+5)(x−4)(x−3)2<0\frac{(x + 5)(x - 4)}{(x - 3)^2} < 0. Використовуємо знайдені точки −5,3,4-5, 3, 4.

Значення менше нуля на інтервалах між −5-5 та 44, за винятком точки розриву 33.

Відповідь: (−5;3)∪(3;4)(-5; 3) \cup (3; 4).

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Обидві нерівності містять однаковий вираз, що дозволяє використовувати один набір критичних точок. Важливо пам'ятати, що знаменник (x−3)2(x-3)^2 завжди додатний при x≠3x \ne 3, тому він не впливає на знак виразу, але виключає точку 33 з області визначення. Теорія: Метод інтервалів для раціональних нерівностей.

  • Розкладаємо чисельник на множники за допомогою теореми Вієта.
  • Виділяємо повний квадрат у знаменнику.
  • Розставляємо точки на осі: зафарбовані для чисельника (в нестрогій нерівності) та порожню для знаменника.
  • У точці x=3x=3 відбувається "петля" або знак зберігається, оскільки множник (x−3)(x-3) входить у парному степені.

Популярне у 10 класі