ГДЗ до вправи 44.29 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 44.29
Спростіть вираз:
1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a} + 1}$;
2) $\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a} - 3}{\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[6]{a} + 9} - \frac{\sqrt[6]{ab} - 9}{\sqrt{a} + 27})$.
Розв'язок вправи № 44.29
Коротке рішення
1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a} + 1}$
$\frac{\sqrt{a} - (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} - 1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a} - 1)} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - (\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a} - 1)} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a} - 1)} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} - 1)^2}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a}$
Відповідь: $\frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a}$.
2) $\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot (\frac{\sqrt[6]{a} - 3}{\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[6]{a} + 9} - \frac{\sqrt[6]{ab} - 9}{\sqrt{a} + 27})$
$\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{(\sqrt[6]{a} - 3)(\sqrt[6]{a} + 3) - (\sqrt[6]{ab} - 9)}{\sqrt{a} + 27} = \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} - 9 - \sqrt[6]{ab} + 9}{\sqrt{a} + 27} = \frac{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \frac{\sqrt[6]{a}(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a}$
Відповідь: $\sqrt[6]{a}$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для спрощення складних ірраціональних виразів необхідно використовувати формули скороченого множення, зокрема різницю квадратів ($a^2 - b^2$) та суму/різницю кубів ($a^3 \pm b^3$), де роль змінних виконують корені відповідних степенів. Також важливо помічати повні квадрати в знаменниках. Теорія: Перетворення ірраціональних виразів.
- У першому прикладі під час віднімання дробів у дужках ми використовуємо те, що $(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} - 1) = \sqrt{a} - 1$. Знаменник другого дробу за знаком ділення є повним квадратом: $\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a} + 1 = (\sqrt[4]{a} - 1)^2$.
- У другому прикладі знаменник $\sqrt{a} + 27$ розглядаємо як суму кубів $(\sqrt[6]{a})^3 + 3^3$, що розкладається на $(\sqrt[6]{a} + 3)(\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[6]{a} + 9)$. Після зведення до спільного знаменника в дужках і скорочення отримаємо компактний результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.