ГДЗ до вправи 44.39 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$

$\begin{cases} 3x - x^2 \geqslant 0 \\ 4 - x > 0 \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(3 - x) \geqslant 0 \\ x < 4 \\ 3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \end{cases} \Rightarrow $
$\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 3 \\ x < 4 \\ 2x^2 - 11x + 16 > 0 \end{cases}$

$D = 121 - 128 = -7 < 0 \Rightarrow$ остання нерівність виконується для всіх $x \in \mathbb{R}$.

Відповідь: $[0; 3]$.

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1$

$\begin{cases} x^2 + 3x + 3 \geqslant 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} D = 9 - 12 < 0 \text{ (завжди } > 0) \\ x > -\frac{1}{2} \\ x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \end{cases} \Rightarrow $
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ 3x^2 + x - 2 > 0 \end{cases}$

$3(x + 1)(x - \frac{2}{3}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$. З урахуванням $x > -0,5$ маємо $x > \frac{2}{3}$.

Відповідь: $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) $\sqrt{2 - x} > x$

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ 2 - x \geqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0 \\ 2 - x > x^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ x \leqslant 2 \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0 \\ x^2 + x - 2 < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x < 0 \\ \begin{cases} x \geqslant 0 \\ (x + 2)(x - 1) < 0 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow $
$\left[ \begin{gathered} x < 0 \\ 0 \leqslant x < 1 \end{gathered} \right. \Rightarrow x < 1$

Відповідь: $(-\infty; 1)$.

4) $\sqrt{x^2 - 1} > x$

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ x^2 - 1 \geqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0 \\ x^2 - 1 > x^2 \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x < 0 \\ (x - 1)(x + 1) \geqslant 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0 \\ -1 > 0 \text{ (хибно)} \end{cases} \end{gathered} \right. \Rightarrow $
$\begin{cases} x < 0 \\ x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \leqslant -1$

Відповідь: $(-\infty; -1]$.

• У першому пункті після піднесення до квадрата отримане квадратне рівняння має від'ємний дискримінант, що означає постійність знака параболи над віссю $Ox$. Розв'язок визначається лише ОДЗ.
• У другому пункті важливо врахувати перетин усіх умов, включаючи сувору нерівність для знаходження нижньої межі проміжку.
• У третьому та четвертому пунктах ми розглядаємо випадок $x < 0$ окремо, оскільки корінь завжди більший за від'ємне число там, де він визначений.