До змісту

ГДЗ до вправи 44.58 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 44.58

Спростіть вираз:

1) (sin⁡α4+cos⁡α4)(sin⁡α4−cos⁡α4)(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4});

2) (sin⁡α+cos⁡α)2−sin⁡2αcos⁡2α+2sin⁡2α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha}.

Розв'язок вправи № 44.58

Коротке рішення

1) (sin⁡α4+cos⁡α4)(sin⁡α4−cos⁡α4)(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4})

sin⁡2α4−cos⁡2α4=−(cos⁡2α4−sin⁡2α4)=−cos⁡(2⋅α4)=−cos⁡α2\sin^2 \frac{\alpha}{4} - \cos^2 \frac{\alpha}{4} = -(\cos^2 \frac{\alpha}{4} - \sin^2 \frac{\alpha}{4}) = -\cos (2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos \frac{\alpha}{2}

Відповідь: −cos⁡α2-\cos \frac{\alpha}{2}

2) (sin⁡α+cos⁡α)2−sin⁡2αcos⁡2α+2sin⁡2α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha}

sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α−sin⁡2α+2sin⁡2α=(1+sin⁡2α)−sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡2α=11=1\frac{\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha} = \frac{(1 + \sin 2\alpha) - \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = \frac{1}{1} = 1

Відповідь: 1

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Спрощення базується на формулах подвійного аргументу для синуса та косинуса, а також формулах скороченого множення. Теорія: Формули подвійного аргументу та основні тотожності.

  • У першому пункті застосовано різницю квадратів (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2. Отриманий вираз згортається у косинус подвійного кута за формулою cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x (із протилежним знаком).
  • У другому пункті у чисельнику розкривається квадрат суми, де sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, а 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha. Це призводить до повного скорочення тригонометричних функцій у чисельнику.
  • У знаменнику косинус подвійного кута розписується як cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha, що після додавання 2sin⁡2α2\sin^2 \alpha також дає одиницю за основною тотожністю.

Популярне у 10 класі