ГДЗ до вправи 44.83 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2}$

$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{7\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $(-\frac{7\pi}{2} + 6\pi n; \frac{\pi}{2} + 6\pi n), n \in \mathbb{Z}$

---

2) $\operatorname{ctg} (-\frac{x}{2}) > \sqrt{3}$

$-\operatorname{ctg} \frac{x}{2} > \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{ctg} \frac{x}{2} < -\sqrt{3}$

$\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \pi + \pi n \Rightarrow \frac{5\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$

---

3) $\operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < -\frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$

---

4) $\cos 4x < \frac{1}{4}$

$\arccos \frac{1}{4} + 2\pi n < 4x < 2\pi - \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n$

$\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Відповідь: $(\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$

• У першому пункті розв'язок відповідає нижній дузі одиничного кола від $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ радіан.
• У другому пункті використана непарність котангенса $\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg} a$, що змінює знак нерівності при множенні на $-1$.
• У третьому та четвертому пунктах важливо враховувати період тангенса ($\pi$) та косинуса ($2\pi$) при записі кінцевих інтервалів.