ГДЗ до вправи 44.99 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$. При $x < 0, f'(x) > 0$; при $x > 0, f'(x) < 0$.

Відповідь: зростає на $(-\infty; 0]$, спадає на $[0; +\infty)$, $x_{max} = 0$.

---

2) $f(x) = \frac{x - 1}{x^2} \Rightarrow f'(x) = \frac{x^2 - 2x(x - 1)}{x^4} = \frac{2 - x}{x^3}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$. ОДЗ: $x \ne 0$. Знаки $f'(x)$: $(-\infty; 0) (-)$, $(0; 2] (+)$, $[2; +\infty) (-)$.

Відповідь: зростає на $(0; 2]$, спадає на $(-\infty; 0)$ та $[2; +\infty)$, $x_{max} = 2$.

---

3) $f(x) = (1 - x)\sqrt{x} = \sqrt{x} - x\sqrt{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$. При $x \in (0; \frac{1}{3}], f'(x) > 0$; при $x \in [\frac{1}{3}; +\infty), f'(x) < 0$.

Відповідь: зростає на $[0; \frac{1}{3}]$, спадає на $[\frac{1}{3}; +\infty)$, $x_{max} = \frac{1}{3}$.

• У першому пункті знаменник похідної завжди додатний, тому знак залежить лише від чисельника $-2x$.
• У другому пункті важливо враховувати точку розриву $x=0$ при визначенні знаків на проміжках.
• У третьому пункті область визначення обмежена $x \geqslant 0$. Похідна не визначена в точці $0$, але функція там неперервна.