Вправа 16.22 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.22. Знайдіть координати вектора $\vec{b}$, колінеарного вектору $\vec{a}(3;\,-4)$, якщо $\vec{a}\cdot\vec{b} = -100$.
$\vec{b}$ колінеарний $\vec{a}$, тому $\vec{b} = t\vec{a} = (3t;\,-4t)$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot 3t + (-4)\cdot(-4t) = 9t + 16t = 25t$;
$25t = -100$;
$t = -4$.
$\vec{b} = (3\cdot(-4);\,-4\cdot(-4)) = (-12;\,16)$.
Колінеарні вектори
Якщо $\vec{b}$ колінеарний $\vec{a}$, то існує число $t$, для якого
$\vec{b} = t\vec{a}$, тобто $\vec{b} = (t x_a;\,t y_a)$.
Скалярний добуток через координати
$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$.
Ключова ідея — колінеарність. Колінеарний вектор — це той самий напрям (або протилежний), розтягнутий у $t$ разів. Тому координати $\vec{b}$ записуємо одразу як $(3t;\,-4t)$ з одним невідомим $t$. Це зводить задачу до одного рівняння.
$\vec{a}\cdot\vec{b}$ дає $25t$. Підставляємо й помічаємо, що $9t + 16t = 25t$ — це $t\cdot|\vec{a}|^2$, бо $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$. Знаючи добуток $-100$, одразу маємо $t = -4$.
Знак $t$ важливий. Від'ємне $t$ означає, що $\vec{b}$ напрямлений протилежно до $\vec{a}$. Саме тому скалярний добуток вийшов від'ємним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.