Вправа 16.23 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.23. Вектори $\vec{a} + \vec{b}$ і $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярні. Доведіть, що $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
Перпендикулярність означає, що скалярний добуток дорівнює нулю:
$(\vec{a} + \vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b}) = 0$.
Розкриємо за розподільною властивістю:
$\vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b} = 0$.
Оскільки $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$, середні доданки взаємно знищуються:
$\vec{a}\cdot\vec{a} - \vec{b}\cdot\vec{b} = 0$;
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$;
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.
Модулі невід'ємні, тому $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, що й треба було довести.
Умова перпендикулярності
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Властивості скалярного добутку
Переставна: $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$.
Розподільна: $(\vec{a} + \vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}$.
Скалярний квадрат: $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$.
Ідея доведення. Перпендикулярність перекладаємо мовою скалярного добутку: він дорівнює нулю. Далі розкриваємо дужки, як звичайний добуток «суми на різницю», і користуємося тим, що $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$.
Чому зникають середні доданки. При розкритті з'являються $-\vec{a}\cdot\vec{b}$ і $+\vec{b}\cdot\vec{a}$. Скалярний добуток переставний, тому це однакові числа з протилежними знаками — їх сума нуль. Залишається тільки різниця квадратів модулів.
Геометричний зміст. Вектори $\vec{a} + \vec{b}$ і $\vec{a} - \vec{b}$ — це діагоналі паралелограма, побудованого на $\vec{a}$ і $\vec{b}$. Їх перпендикулярність — ознака того, що паралелограм є ромбом, а в ромба всі сторони рівні: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.