Вправа 16.27 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

16.27. Відомо, що $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 2$, $\angle(\vec{m};\,\vec{n}) = 60^{\circ}$. Знайдіть $|2\vec{m} - 3\vec{n}|$.

Розв'язання

$\vec{m}\cdot\vec{n} = 1\cdot 2\cdot\cos 60^{\circ} = 2\cdot\dfrac{1}{2} = 1$.

$|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2 = (2\vec{m} - 3\vec{n})^2 =$

$= 4|\vec{m}|^2 - 12\,\vec{m}\cdot\vec{n} + 9|\vec{n}|^2 =$

$= 4\cdot 1 - 12\cdot 1 + 9\cdot 4 =$

$= 4 - 12 + 36 = 28$.

$|2\vec{m} - 3\vec{n}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Відповідь

$2\sqrt{7}$.

Модуль через скалярний квадрат

$|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^{\,2}}$.

Квадрат різниці векторів

$(2\vec{m} - 3\vec{n})^2 = 4|\vec{m}|^2 - 12\,\vec{m}\cdot\vec{n} + 9|\vec{n}|^2$.

Та сама схема, що в 16.26. Знаходимо $|2\vec{m} - 3\vec{n}|^2$ як скалярний квадрат, потім беремо корінь. Тут різниця, тому в формулі квадрата середній доданок зі знаком мінус.

Гострий кут дає додатний $\vec{m}\cdot\vec{n}$. $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, тому $\vec{m}\cdot\vec{n} = 1$. Через мінус перед подвоєним добутком отримуємо $-12$ — це зменшує суму, але переважає великий доданок $9|\vec{n}|^2 = 36$.

Спрости корінь. $\sqrt{28} = \sqrt{4\cdot 7} = 2\sqrt{7}$ — виносимо повний квадрат з-під кореня. Залишати $\sqrt{28}$ у відповіді не варто.