Вправа 2.8 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.8. У трапеції $ABCD$ відомо, що $BC \parallel AD$, $BC = 3$ см, $AD = 10$ см, $CD = 4$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Знайдіть діагоналі трапеції.
Дано
$ABCD$ — трапеція, $BC \parallel AD$
$BC = 3$, $AD = 10$, $CD = 4$ (см)
$\angle D = 60^{\circ}$
Знайти
$AC - ?$, $BD - ?$
Діагональ $AC$ лежить проти кута $\angle D = 60^{\circ}$ у трикутнику $ACD$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos60^{\circ}$.
$AC^2 = 100 + 16 - 2\cdot10\cdot4\cdot\dfrac{1}{2} =$
$= 116 - 40 = 76$.
$AC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$ (см).
Кут $\angle BCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Діагональ $BD$ лежить проти нього у трикутнику $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos120^{\circ}$.
$BD^2 = 9 + 16 - 2\cdot3\cdot4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) =$
$= 25 + 12 = 37$.
$BD = \sqrt{37}$ (см).
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Кути при бічній стороні трапеції
Кути при одній бічній стороні (між основами) у сумі дають $180^{\circ}$, бо основи паралельні:
$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle D$.
Кожна діагональ — у своєму трикутнику. Діагональ $AC$ зручно розглядати в трикутнику $ACD$: там відомі основа $AD=10$, бічна $CD=4$ і кут $D=60^{\circ}$ між ними. Діагональ $BD$ — у трикутнику $BCD$: відомі $BC=3$, $CD=4$ і кут $C$.
Звідки кут $120^{\circ}$. Прямого значення $\angle C$ в умові немає, але основи паралельні. Кути $\angle D$ і $\angle BCD$ — внутрішні односторонні при бічній стороні $CD$, тож у сумі $180^{\circ}$. Звідси $\angle BCD = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
Спрощення кореня. $\sqrt{76}$ — не «глухий» корінь: $76=4\cdot19$, тож $\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Завжди перевіряй, чи ділиться підкореневе число на повний квадрат — відповідь має бути у найпростішому вигляді. $\sqrt{37}$ уже не спрощується, $37$ — просте.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.