Вправа 2.9 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.9. Знайдіть косинуси кутів трикутника зі сторонами $3$ см, $10$ см і $11$ см.
Дано
$\triangle ABC$
$a = 3$, $b = 10$, $c = 11$ (см)
Знайти
$\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ — ?
Косинус кута знаходимо з теореми косинусів: $\cos = \dfrac{(\text{сума квадратів двох сторін}) - (\text{квадрат протилежної})}{2\cdot(\text{добуток двох сторін})}$.
Проти сторони $3$:
$\cos\alpha = \dfrac{10^2 + 11^2 - 3^2}{2\cdot10\cdot11} =$
$= \dfrac{100 + 121 - 9}{220} = \dfrac{212}{220} = \dfrac{53}{55}$.
Проти сторони $10$:
$\cos\beta = \dfrac{3^2 + 11^2 - 10^2}{2\cdot3\cdot11} =$
$= \dfrac{9 + 121 - 100}{66} = \dfrac{30}{66} = \dfrac{5}{11}$.
Проти сторони $11$:
$\cos\gamma = \dfrac{3^2 + 10^2 - 11^2}{2\cdot3\cdot10} =$
$= \dfrac{9 + 100 - 121}{60} = \dfrac{-12}{60} = -\dfrac{1}{5}$.
Косинус кута через сторони
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,
де $a$ — сторона, протилежна куту $A$.
Теорема косинусів «навпаки». Якщо відомі всі три сторони, кожен косинус виражається через них. У чисельнику — сума квадратів двох сторін кута мінус квадрат протилежної; у знаменнику — подвоєний добуток тих самих двох сторін.
Знак косинуса підказує тип кута. Два косинуси вийшли додатними (кути гострі), а проти найбільшої сторони $11$ косинус від'ємний — значить, цей кут тупий. Це загальне правило: тупим у трикутнику може бути лише кут навпроти найдовшої сторони.
Скорочуй дроби. $\dfrac{212}{220}$ скорочується на $4$ до $\dfrac{53}{55}$, $\dfrac{30}{66}$ — на $6$ до $\dfrac{5}{11}$. Відповідь завжди залишай у нескоротному вигляді. Від'ємний знак для $\cos\gamma$ винось перед дробом: $-\dfrac{1}{5}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.