Вправа 20.3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
20.3. На рисунку 20.8 зображено прямокутник $ABCD$ та точки $A_1$ і $D_1$, які є образами відповідно точок $A$ і $D$ при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника $ABCD$ при цьому перетворенні. Як ви думаєте, скільки розв'язків має задача? Обговоріть це питання у класі.
Дано
прямокутник $ABCD$
$A_1$, $D_1$ — образи $A$, $D$
Побудувати
образ $A_1B_1C_1D_1$
$A_1D_1$ — образ сторони $AD$.
$AD=1$, $A_1D_1=2$, тому $k=\dfrac{A_1D_1}{AD}=2$.
Сторони $A_1B_1$ і $D_1C_1$ перпендикулярні до $A_1D_1$, довжина $2\cdot AB=4$.
Відкласти їх можна у два боки від прямої $A_1D_1$:
праворуч — $B_1(7;4)$, $C_1(7;6)$;
ліворуч — $B_1'(-1;4)$, $C_1'(-1;6)$.
Перетворення подібності
Подібність зберігає форму: відповідні кути рівні, а всі відстані змінюються в одне й те саме число $k$ разів.
Коефіцієнт подібності
$k=\dfrac{A_1D_1}{AD}$.
Два образи однієї точки. Знаючи образ сторони $A_1D_1$, ми знаємо напрямок і коефіцієнт. Але прямокутник можна добудувати по обидва боки від прямої $A_1D_1$ — звідси два розв'язки.
Чому саме два. Перетворення подібності буває двох видів: пряме (зберігає напрям обходу вершин) і дзеркальне (змінює його на протилежний). Кожне дає свій образ — тому розв'язків рівно два.
Як знайти $B_1$, $C_1$. Сторона $AB$ перпендикулярна до $AD$ і вдвічі коротша за $AD$... тут навпаки: образ більший, $k=2$. Від $A_1$ і $D_1$ відкладаємо перпендикуляри довжиною $2\cdot AB$ — у потрібний бік.
Часта помилка. Будують лише один образ і пишуть «один розв'язок». Уважно: умова прямо просить обговорити кількість — а їх два (симетричні відносно прямої $A_1D_1$).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.