Вправа 20.4 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
20.4. На рисунку 20.9 зображено прямокутник $ABCD$ та точки $A_1$ і $C_1$, які є образами відповідно точок $A$ і $C$ при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника $ABCD$ при цьому перетворенні. Скільки розв'язків має задача?
Дано
прямокутник $ABCD$
$A_1$, $C_1$ — образи $A$, $C$
Побудувати
образ $A_1B_1C_1D_1$
$A_1C_1$ — образ діагоналі $AC$.
$AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$, $A_1C_1=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
$k=\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$.
На діагоналі $A_1C_1$ як на основі будуємо прямокутник; вершини $B_1$, $D_1$ — по різні боки від неї.
Один із розв'язків: $B_1(3;1)$, $D_1(1;2)$.
Перетворення подібності
Подібність зберігає форму: відповідні кути рівні, всі відстані змінюються в $k$ разів.
Коефіцієнт через діагональ
$k=\dfrac{A_1C_1}{AC}$.
Тут дано діагональ, а не сторону. Точки $A$ і $C$ — протилежні вершини, тому $A_1C_1$ — образ діагоналі. По ній знаходимо коефіцієнт $k=\frac{1}{2}$ і будуємо прямокутник.
Знову два розв'язки. Маючи діагональ $A_1C_1$, прямокутник можна добудувати по обидва боки від неї — вершини $B_1$ і $D_1$ розташовуються симетрично. Тому розв'язків два: пряме й дзеркальне подібності.
Як будувати від діагоналі. Прямокутник однозначно задається діагоналлю і тим, що його сторони паралельні відповідним сторонам оригіналу. Відкладаємо $B_1$, $D_1$ так, щоб кути були прямі — виходить два дзеркальних варіанти.
Часта помилка. Сприймають $A_1C_1$ як образ сторони й беруть неправильний коефіцієнт. Перевір: $A$ і $C$ у прямокутнику $ABCD$ — протилежні вершини, отже це діагональ.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.