Вправа 6.37 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.37. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого на $36^{\circ}$ більший за його центральний кут?
Дано
правильний $n$-кутник
$\alpha - \beta = 36^{\circ}$
Знайти
$n - ?$
Кут многокутника $\alpha = \dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n}$, центральний кут $\beta = \dfrac{360^{\circ}}{n}$.
$\dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n} - \dfrac{360^{\circ}}{n} = 36^{\circ}$.
$\dfrac{180^{\circ}n - 360^{\circ} - 360^{\circ}}{n} = 36^{\circ}$.
$180^{\circ}n - 720^{\circ} = 36^{\circ}n$.
$144^{\circ}n = 720^{\circ}$, $n = 5$.
Перевірка
$\alpha = 108^{\circ}$, $\beta = 72^{\circ}$, $\alpha - \beta = 36^{\circ}$ ✓.
Кут многокутника й центральний кут
$\alpha = \dfrac{180^{\circ}(n-2)}{n}, \quad \beta = \dfrac{360^{\circ}}{n}$.
Складаємо рівняння. Обидва кути виражаємо через $n$ і записуємо умову «кут на $36^{\circ}$ більший за центральний» як різницю $\alpha-\beta=36^{\circ}$. Оскільки знаменник у обох дробів однаковий ($n$), вони легко об'єднуються.
Зручне спрощення. Помноживши обидві частини на $n$, позбуваємося дробу й отримуємо лінійне рівняння $144^{\circ}n=720^{\circ}$.
Перевірка обов'язкова. Підставивши $n=5$, маємо кут $108^{\circ}$ і центральний $72^{\circ}$ — різниця рівно $36^{\circ}$. Це впізнаваний правильний п'ятикутник.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.