Вправа 6.38 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.38. Кут між радіусами вписаного кола правильного многокутника, проведеними в точки дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника, дорівнює $20^{\circ}$. Знайдіть кількість сторін многокутника.
Дано
правильний $n$-кутник
$\angle KOL = 20^{\circ}$ (між радіусами в точки дотику)
Знайти
$n - ?$
Радіуси $OK$ і $OL$ проведені в точки дотику до двох сусідніх сторін. Кут $\angle KOL$ дорівнює центральному куту многокутника $\dfrac{360^{\circ}}{n}$.
$\dfrac{360^{\circ}}{n} = 20^{\circ}$.
$n = \dfrac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18$.
Кут між радіусами в точки дотику
Радіуси вписаного кола в точки дотику до двох сусідніх сторін утворюють кут, що дорівнює центральному:
$\angle KOL = \dfrac{360^{\circ}}{n}$.
Чому цей кут — центральний. Радіус у точку дотику перпендикулярний до сторони, тобто це апофема. Апофеми до двох сусідніх сторін симетричні відносно радіуса, проведеного у спільну вершину. Кут між ними збігається з кутом між радіусами в сусідні вершини, тобто з центральним кутом $\dfrac{360^{\circ}}{n}$.
Далі — проста арифметика. Маючи $\dfrac{360^{\circ}}{n}=20^{\circ}$, одразу знаходимо $n=18$.
Типова помилка. Брати цей кут за внутрішній кут многокутника. Насправді кут між апофемами сусідніх сторін — центральний, а не кут при вершині.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.