Вправа 6.5 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
6.5. Як на вашу думку, чи є правильним твердження:
1) якщо всі кути трикутника рівні, то він є правильним;
2) якщо всі кути чотирикутника рівні, то він є правильним;
3) якщо всі сторони чотирикутника рівні, то він є правильним?
Обґрунтуйте свою думку.
1) Трикутник з рівними кутами
Усі кути рівні $\Rightarrow$ кожен дорівнює $60^{\circ}$ $\Rightarrow$ трикутник рівносторонній $\Rightarrow$ всі сторони рівні.
Отже, такий трикутник правильний. Твердження правильне.
2) Чотирикутник з рівними кутами
Усі кути рівні $\Rightarrow$ кожен дорівнює $90^{\circ}$ $\Rightarrow$ це прямокутник.
Прямокутник не обов'язково має рівні сторони (наприклад, зі сторонами $2$ і $5$).
Отже, такий чотирикутник не обов'язково правильний. Твердження неправильне.
3) Чотирикутник з рівними сторонами
Усі сторони рівні $\Rightarrow$ це ромб.
Ромб не обов'язково має рівні кути (наприклад, з кутами $60^{\circ}$ і $120^{\circ}$).
Отже, такий чотирикутник не обов'язково правильний. Твердження неправильне.
Означення правильного многокутника
Многокутник правильний, якщо одночасно всі його сторони рівні і всі кути рівні.
Особливість трикутника
Для трикутника рівність кутів тягне за собою рівність сторін, і навпаки. Тому рівнокутний трикутник — завжди правильний.
Чому трикутник — виняток. У трикутнику сторони й кути жорстко зв'язані: проти рівних кутів лежать рівні сторони. Тому як тільки всі кути рівні, автоматично рівними стають і сторони — окремо «зламати» це неможливо. У многокутниках з чотирма й більше сторонами такого жорсткого зв'язку немає.
Контрприклади для пунктів 2 і 3. Щоб спростувати твердження, достатньо одного прикладу, де умова виконана, а висновок — ні. Для пункту 2 це прямокутник (кути рівні, сторони — ні). Для пункту 3 — ромб (сторони рівні, кути — ні). Правильним чотирикутником є лише квадрат, у якому виконані обидві умови.
Типова помилка. Вважати, що однієї умови (рівні сторони або рівні кути) достатньо. Для трикутника — так, для решти многокутників — ні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.