Вправа 8.13 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Доведіть, що трикутник з вершинами в точках $A(2;7)$, $B(-1;4)$ і $C(1;2)$ є прямокутним.
Яку з двох теорем — теорему Піфагора чи обернену до неї — ви застосували під час розв'язання цієї задачі? Обговоріть це питання у класі.
Дано
$A(2;7)$, $B(-1;4)$, $C(1;2)$
Довести
$\triangle ABC$ — прямокутний
Трикутник $ABC$; прямий кут при вершині $B$.
$AB^2 = (-1-2)^2 + (4-7)^2 =$
$= (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$.
$BC^2 = (1-(-1))^2 + (2-4)^2 =$
$= 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$.
$AC^2 = (1-2)^2 + (2-7)^2 =$
$= (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.
$AB^2 + BC^2 = 18 + 8 = 26 = AC^2$.
Висновок: для сторін трикутника виконується рівність $AB^2 + BC^2 = AC^2$, тому за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, кут $B$ — прямий, а $\triangle ABC$ — прямокутний, що й треба було довести.
Застосовано обернену теорему Піфагора.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Теорема, обернена до теореми Піфагора: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний (прямий кут — проти найбільшої сторони).
Щоб працювати з квадратами сторін, навіть корінь витягувати не треба — це найзручніше. Рахуємо $AB^2$, $BC^2$, $AC^2$ і дивимося, чи квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших.
Найбільший вийшов $AC^2 = 26$, і справді $18 + 8 = 26$. Отже, прямий кут лежить проти сторони $AC$ — тобто при вершині $B$.
Тепер про питання з умови. Ми не знали заздалегідь, що кут прямий — ми це довели, виходячи з рівності сторін. Саме так працює обернена теорема Піфагора: від рівності сторін до висновку про прямий кут. Пряма теорема діяла б навпаки — якби нам спочатку дали прямий кут, і ми б рахували гіпотенузу.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.