Вправа 8.14 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Точки $A(-1;2)$ і $B(7;4)$ є вершинами прямокутного трикутника. Чи може третя вершина трикутника мати координати:
1) $(7;2)$; 2) $(2;-3)$?
Дано
$A(-1;2)$, $B(7;4)$
$C_1(7;2)$, $C_2(2;-3)$
Знайти
чи прямокутний $\triangle$ з $C_1$; з $C_2$
$C_1(7;2)$ — прямий кут є; $C_2(2;-3)$ — прямого кута немає.
$AB^2 = (7-(-1))^2 + (4-2)^2 =$
$= 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$.
1) $C_1(7;2)$:
$AC_1^2 = (7-(-1))^2 + (2-2)^2 = 64$,
$BC_1^2 = (7-7)^2 + (2-4)^2 = 4$.
$AC_1^2 + BC_1^2 = 64 + 4 = 68 = AB^2$.
Рівність виконується — кут при $C_1$ прямий.
2) $C_2(2;-3)$:
$AC_2^2 = (2-(-1))^2 + (-3-2)^2 =$
$= 9 + 25 = 34$,
$BC_2^2 = (2-7)^2 + (-3-4)^2 =$
$= 25 + 49 = 74$.
Найбільший квадрат — $BC_2^2 = 74$, але
$AB^2 + AC_2^2 = 68 + 34 = 102 \ne 74$;
так само жодна інша пара не дає рівності. Прямого кута немає.
Відповідь: 1) так, може ($C_1(7;2)$ дає прямий кут при $C_1$); 2) ні, не може.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Трикутник прямокутний тоді й лише тоді, коли квадрат однієї сторони дорівнює сумі квадратів двох інших (теорема, обернена до теореми Піфагора).
Для кожної з двох можливих третіх вершин рахуємо квадрати всіх трьох сторін і перевіряємо: чи дорівнює квадрат найбільшої сторони сумі квадратів двох інших. Якщо так — трикутник прямокутний.
У пункті 1) рівність $AC_1^2 + BC_1^2 = AB^2$ виконалася ($64+4=68$), тому прямий кут є — при вершині $C_1$. У пункті 2) жодна пара квадратів не дає в сумі третій, тому прямого кута немає взагалі.
Важливо перевіряти саме найбільшу сторону як «гіпотенузу»: прямий кут завжди лежить проти найдовшої сторони. Якщо найбільший квадрат не дорівнює сумі двох менших — трикутник не прямокутний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.