Вправа 8.21 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Знайдіть координати точки, яка ділить відрізок $AB$ у відношенні $1:3$, рахуючи від точки $A$, якщо $A(5;-3)$ і $B(-3;7)$.
Дано
$A(5;-3)$, $B(-3;7)$
$P$ ділить $AB$, $AP:PB = 1:3$
Знайти
координати $P$
Точка $P(3;-0{,}5)$ ділить $AB$ так, що $AP:PB = 1:3$.
За умовою $AP:PB = 1:3$, тому $P$ ділить відрізок від $A$ у відношенні $\lambda = \dfrac{1}{3}$. Координати точки поділу:
$x_P = \dfrac{x_A + \lambda x_B}{1+\lambda}$, $\ y_P = \dfrac{y_A + \lambda y_B}{1+\lambda}$.
$x_P = \dfrac{5 + \frac{1}{3}\cdot(-3)}{1+\frac{1}{3}} = \dfrac{5 - 1}{\frac{4}{3}} =$
$= \dfrac{4}{\frac{4}{3}} = 3$.
$y_P = \dfrac{-3 + \frac{1}{3}\cdot 7}{1+\frac{1}{3}} = \dfrac{-3 + \frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} =$
$= \dfrac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$.
Відповідь: $P(3;-0{,}5)$.
Якщо точка $P$ ділить відрізок $AB$ у відношенні $AP:PB = \lambda$ (рахуючи від $A$), то її координати:
$$x_P = \frac{x_A + \lambda x_B}{1+\lambda}, \qquad y_P = \frac{y_A + \lambda y_B}{1+\lambda}.$$
При $\lambda = 1$ ця формула перетворюється на формулу середини відрізка.
Відношення $1:3$ означає, що відрізок розбитий на $1+3 = 4$ рівні частини, і точка $P$ стоїть на межі першої частини, рахуючи від $A$. Тобто $P$ ближче до $A$ — це видно й на рисунку.
У формулі $\lambda = \dfrac{AP}{PB} = \dfrac{1}{3}$ — саме відношення першого числа до другого. Якщо переплутати порядок і взяти $\lambda = 3$, точка вийде ближче до $B$ — це найчастіша помилка. Тому стеж: рахуємо від $A$, і перше число відношення — це частка біля $A$.
Дробові підстановки тут трохи громіздкі, але рахуються спокійно: спільний знаменник $\frac{4}{3}$ у знаменнику, поділ на дріб — множення на обернений.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.