Вправа 8.22 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, $A(-5;1)$, $B(-4;4)$, $C(-1;5)$. Знайдіть координати вершини $D$.
Дано
$ABCD$ — паралелограм
$A(-5;1)$, $B(-4;4)$, $C(-1;5)$
Знайти
координати $D$
Паралелограм $ABCD$; шукана вершина $D(-2;2)$.
У паралелограмі $ABCD$ діагоналі $AC$ і $BD$ точкою перетину діляться навпіл, тому їхні середини збігаються:
$\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{x_B+x_D}{2}$, $\ \dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{y_B+y_D}{2}$.
Звідси:
$x_D = x_A + x_C - x_B = -5 + (-1) - (-4) = -2$,
$y_D = y_A + y_C - y_B = 1 + 5 - 4 = 2$.
Перевірка: $\overrightarrow{AB} = (1;3)$, $\ \overrightarrow{DC} = (-1-(-2);\,5-2) = (1;3)$. ✓
Відповідь: $D(-2;2)$.
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому середини діагоналей $AC$ і $BD$ збігаються.
Звідси координати четвертої вершини:
$$x_D = x_A + x_C - x_B, \qquad y_D = y_A + y_C - y_B.$$
Ключова властивість паралелограма: його діагоналі перетинаються і діляться навпіл. Значить, середина діагоналі $AC$ збігається із серединою діагоналі $BD$. Прирівнявши середини, легко виразити невідому вершину $D$.
Тут важливо не переплутати порядок вершин. У паралелограмі $ABCD$ діагоналями є $AC$ і $BD$ (сполучають протилежні вершини), а не $AB$ чи $BC$ — то сторони. Тому в формулу беремо саме $A$, $C$ (одна діагональ) і $B$, $D$ (друга).
Перевірити себе зручно через рівність векторів: у паралелограмі $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Обидва вийшли $(1;3)$ — отже, $D$ знайдено правильно.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.