Вправа 8.5 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Доведіть, що точка $M(0;-1)$ є центром кола, описаного навколо трикутника $ABC$, якщо $A(6;-9)$, $B(-6;7)$, $C(8;5)$.
Дано
$M(0;-1)$, $A(6;-9)$,
$B(-6;7)$, $C(8;5)$
Довести
$M$ — центр описаного кола
$MA^2 = (6-0)^2 + (-9-(-1))^2 =$
$= 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100$.
$MB^2 = (-6-0)^2 + (7-(-1))^2 =$
$= (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$MC^2 = (8-0)^2 + (5-(-1))^2 =$
$= 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
$MA^2 = MB^2 = MC^2 = 100$, отже
$MA = MB = MC = 10$.
Висновок: точка $M$ рівновіддалена від усіх трьох вершин ($MA = MB = MC = 10$), тому вона є центром кола, описаного навколо $\triangle ABC$, що й треба було довести.
Відстань між точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$$MN = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$$
Центр описаного кола рівновіддалений від усіх вершин трикутника, і ця відстань дорівнює радіусу кола.
Ключова ідея: центр описаного кола — це точка, від якої до всіх трьох вершин однакова відстань (вони ж усі лежать на одному колі, а отже, на однаковій відстані від центра — це і є радіус). Тому достатньо перевірити, що $MA = MB = MC$.
Знову зручніше працювати з квадратами відстаней — менше коренів. Усі три вийшли по $100$, тобто радіус кола $R = \sqrt{100} = 10$.
Якби хоча б одна з відстаней відрізнялася, точка $M$ не була б центром — і це теж була б повноцінна відповідь («ні, не є центром»). Тут же всі три збіглися, тому твердження доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.