ГДЗ до вправи 10.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.31
Доведіть, що:
$$\underbrace{\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{... + \sqrt[4]{14}}}}}_{200 \text{ радикалів}} < 2.$$
Розв'язок вправи № 10.31
Коротке рішення
$$a_1 = \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16} = 2$$
$$a_{n+1} = \sqrt[4]{14 + a_n}$$
$$a_n < 2 \Rightarrow a_{n+1} < \sqrt[4]{14 + 2} = \sqrt[4]{16} = 2$$
$$a_{200} < 2$$
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для доведення таких нерівностей використовуємо метод послідовної оцінки. Ми показуємо, що якщо внутрішня частина менша за певне число, то і весь вираз після додавання константи та добування кореня залишається меншим за це ж число. Тема: Корінь n-го степеня.
Доведемо твердження крок за кроком:
- Оцінимо найглибший (останній) радикал: $\sqrt[4]{14}$. Оскільки $14 < 16$, а $\sqrt[4]{16} = 2$, то $\sqrt[4]{14} < 2$.
- Додамо до нього число 14: $14 + \sqrt[4]{14} < 14 + 2 = 16$.
- Добудемо корінь четвертого степеня: $\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}} < \sqrt[4]{16} = 2$. Таким чином, вираз із двома радикалами також менший за 2.
- Продовжуючи цей процес для будь-якої кількості радикалів $n$, ми бачимо, що кожен наступний крок $\sqrt[4]{14 + a_n}$ дає результат менший за 2, якщо попередній результат $a_n$ був меншим за 2.
Оскільки на кожному з 200 кроків ми отримуємо число, менше за 2, то і кінцевий результат буде меншим за 2.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.