До змісту

ГДЗ до вправи 10.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 10.31

Доведіть, що:

14+14+...+144444⏟200 радикалів<2.\underbrace{\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{... + \sqrt[4]{14}}}}}_{200 \text{ радикалів}} < 2.

Розв'язок вправи № 10.31

Коротке рішення

a1=144<164=2a_1 = \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16} = 2

an+1=14+an4a_{n+1} = \sqrt[4]{14 + a_n}

an<2⇒an+1<14+24=164=2a_n < 2 \Rightarrow a_{n+1} < \sqrt[4]{14 + 2} = \sqrt[4]{16} = 2

a200<2a_{200} < 2

Детальне рішення

Ключ до розв’язання: Для доведення таких нерівностей використовуємо метод послідовної оцінки. Ми показуємо, що якщо внутрішня частина менша за певне число, то і весь вираз після додавання константи та добування кореня залишається меншим за це ж число. Тема: Корінь n-го степеня.

Доведемо твердження крок за кроком:

  1. Оцінимо найглибший (останній) радикал: 144\sqrt[4]{14}. Оскільки 14<1614 < 16, а 164=2\sqrt[4]{16} = 2, то 144<2\sqrt[4]{14} < 2.
  2. Додамо до нього число 14: 14+144<14+2=1614 + \sqrt[4]{14} < 14 + 2 = 16.
  3. Добудемо корінь четвертого степеня: 14+1444<164=2\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}} < \sqrt[4]{16} = 2. Таким чином, вираз із двома радикалами також менший за 2.
  4. Продовжуючи цей процес для будь-якої кількості радикалів nn, ми бачимо, що кожен наступний крок 14+an4\sqrt[4]{14 + a_n} дає результат менший за 2, якщо попередній результат ana_n був меншим за 2.

Оскільки на кожному з 200 кроків ми отримуємо число, менше за 2, то і кінцевий результат буде меншим за 2.

Популярне у 10 класі