До змісту

ГДЗ до вправи 12.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 12.11

Скоротіть дріб:

  1. a−4ba0,5+2b0,5; \frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}};
  2. a−bab12+a12b; \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b};
  3. 4c23−12c13d13+9d232c13−3d13; \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}};
  4. m12−n12m32−n32; \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}};
  5. a34+7a12a−49a12; \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}};
  6. 3015−6151015−215. \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}}.

Розв'язок вправи № 12.11

Коротке рішення

1) a−4ba0,5+2b0,5=(a0,5)2−(2b0,5)2a0,5+2b0,5=(a0,5−2b0,5)(a0,5+2b0,5)a0,5+2b0,5=a0,5−2b0,5 \frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5})^2 - (2b^{0,5})^2}{a^{0,5} + 2b^{0,5}} = \frac{(a^{0,5} - 2b^{0,5})(a^{0,5} + 2b^{0,5})}{a^{0,5} + 2b^{0,5}} = a^{0,5} - 2b^{0,5}

2) a−bab12+a12b=(a12−b12)(a12+b12)a12b12(a12+b12)=a12−b12a12b12 \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}

3) 4c23−12c13d13+9d232c13−3d13=(2c13−3d13)22c13−3d13=2c13−3d13 \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = \frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} = 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}

4) m12−n12m32−n32=m12−n12(m12)3−(n12)3=m12−n12(m12−n12)(m+m12n12+n)=1m+(mn)12+n \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} = \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3} = \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)} = \frac{1}{m + (mn)^{\frac{1}{2}} + n}

5) a34+7a12a−49a12=a12(a14+7)a12(a12−49)=a14+7(a14)2−72=a14+7(a14−7)(a14+7)=1a14−7 \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49)} = \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{(a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2} = \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)} = \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7}

6) 3015−6151015−215=615(515−1)215(515−1)=615215=(62)15=315 \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} = \frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)} = \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} = (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}

Детальне рішення

Для скорочення дробів з раціональними показниками ми використовуємо методи розкладання на множники: винесення спільного множника за дужки та формули скороченого множення. Тема: Властивості степеня

  • У прикладі 1 чисельник подано як різницю квадратів: a−4b=(a0,5)2−(2b0,5)2 a - 4b = (a^{0,5})^2 - (2b^{0,5})^2 .
  • У прикладі 2 в знаменнику винесено за дужки спільний множник a12b12 a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} , а чисельник розкладено як різницю квадратів.
  • У прикладі 3 чисельник згорнуто за формулою квадрата різниці: (x−y)2=x2−2xy+y2 (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 .
  • У прикладі 4 використано формулу різниці кубів для знаменника: A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2) A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2) , де A=m12 A = m^{\frac{1}{2}} .
  • У прикладі 5 спочатку винесено спільний множник a12 a^{\frac{1}{2}} в обох частинах дробу, а потім застосовано різницю квадратів.
  • У прикладі 6 використано властивість степеня добутку для винесення спільних множників 615 6^{\frac{1}{5}} та 215 2^{\frac{1}{5}} .

Популярне у 10 класі