ГДЗ до вправи 15.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x + 3}$ $\text{ОДЗ: } x \ge 0; \quad \text{умова піднесення: } 3\sqrt{x} - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{9}$ $9x - 6\sqrt{x} + 1 > x + 3 \Rightarrow 8x - 2 > 6\sqrt{x} \Rightarrow 4x - 1 > 3\sqrt{x}$ $\text{умова: } 4x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0,25$ $16x^2 - 8x + 1 > 9x \Rightarrow 16x^2 - 17x + 1 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; \frac{1}{16} ) \cup (1; +\infty)$ $\text{З урахуванням } x \ge 0,25: x \in (1; +\infty)$
Відповідь: $(1; +\infty)$.

2) $\text{ОДЗ: } x \ge 2$ $x + 3 < x - 1 + x - 2 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 2)} \Rightarrow 6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ $\text{а) } 6 - x < 0 \Rightarrow x > 6 \text{ (завжди правильно на ОДЗ)}$ $\text{б) } 6 - x \ge 0 \Rightarrow 36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8 \Rightarrow 3x^2 > 28$ $x^2 > \frac{28}{3} \Rightarrow x > \sqrt{ \frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$
Відповідь: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}; +\infty)$.

• У першому пункті перед піднесенням до квадрата необхідно перенести один з радикалів у праву частину, щоб обидві сторони були невід'ємними. Це накладає додаткове обмеження на x.
• У другому пункті після першого піднесення до квадрата та спрощення ми отримуємо нерівність виду $g(x) < \sqrt{f(x)}$. Її розв'язання розпадається на два випадки залежно від знака виразу 6 – x.
• Умова ОДЗ для другого прикладу ($x \ge 2$) є визначальною для відсікання сторонніх проміжків.