До змісту

ГДЗ до вправи 17.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 17.9

При яких значеннях aa можлива рівність:

  1. sin⁡x=a2+1 \sin x = a^2 + 1 ;
  2. cos⁡x=a2−1 \cos x = a^2 - 1 ;
  3. cos⁡x=a2−5a+5 \cos x = a^2 - 5a + 5 ?

Розв'язок вправи № 17.9

Коротке рішення

1) −1≤a2+1≤1⇒{a2≥−2a2≤0⇒a=0 -1 \le a^2 + 1 \le 1 \Rightarrow \begin{cases} a^2 \ge -2 \\ a^2 \le 0 \end{cases} \Rightarrow a = 0

2) −1≤a2−1≤1⇒0≤a2≤2⇒∣a∣≤2⇒a∈[−2;2] -1 \le a^2 - 1 \le 1 \Rightarrow 0 \le a^2 \le 2 \Rightarrow |a| \le \sqrt{2} \Rightarrow a \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]

3) −1≤a2−5a+5≤1⇒{a2−5a+6≥0a2−5a+4≤0 -1 \le a^2 - 5a + 5 \le 1 \Rightarrow \begin{cases} a^2 - 5a + 6 \ge 0 \\ a^2 - 5a + 4 \le 0 \end{cases} {(a−2)(a−3)≥0⇒a∈(−∞;2]∪[3;+∞)(a−1)(a−4)≤0⇒a∈[1;4]⇒a∈[1;2]∪[3;4] \begin{cases} (a - 2)(a - 3) \ge 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) \\ (a - 1)(a - 4) \le 0 \Rightarrow a \in [1; 4] \end{cases} \Rightarrow a \in [1; 2] \cup [3; 4]

Детальне рішення

Рівність тригонометричної функції параметричному виразу можлива тоді й тільки тоді, коли значення цього виразу потрапляє в область значень функції. Теорія: Тригонометричні функції.

  • Для функцій синуса та косинуса область значень — відрізок [–1; 1]. Отже, вираз у правій частині має задовольняти подвійну нерівність.
  • У першому пункті вираз a2+1 a^2 + 1 завжди не менший за 1. Рівність можлива лише в єдиній точці, де вираз дорівнює одиниці.
  • У другому пункті розв'язання нерівності для квадрата параметра дає симетричний інтервал відносно нуля.
  • У третьому пункті задача зводиться до розв'язання системи двох квадратних нерівностей. Знаходячи перетин отриманих множин, ми отримуємо об'єднання двох відрізків.

Популярне у 10 класі