До змісту

ГДЗ до вправи 22.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 22.10

Знайдіть значення виразу:

  1. 5cos⁡α+6sin⁡α3sin⁡α−7cos⁡α \frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 7 \cos \alpha} , якщо tg α=12 \text{tg } \alpha = \frac{1}{2} ;
  2. 2sin⁡3α+3cos⁡3α5sin⁡α−cos⁡α \frac{2 \sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}{5 \sin \alpha - \cos \alpha} , якщо tg α=−4 \text{tg } \alpha = -4 .

Розв'язок вправи № 22.10

Коротке рішення

1) 5cos⁡α+6sin⁡α3sin⁡α−7cos⁡α=5+6tg α3tg α−7=5+6⋅123⋅12−7=5+31,5−7=8−5,5=−1611 \frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 7 \cos \alpha} = \frac{5 + 6 \text{tg } \alpha}{3 \text{tg } \alpha - 7} = \frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} - 7} = \frac{5 + 3}{1,5 - 7} = \frac{8}{-5,5} = -\frac{16}{11}

2) 2sin⁡3α+3cos⁡3α(5sin⁡α−cos⁡α)(sin⁡2α+cos⁡2α)=2tg3α+3(5tg α−1)(tg2α+1) \frac{2 \sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}{(5 \sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)} = \frac{2 \text{tg}^3 \alpha + 3}{(5 \text{tg } \alpha - 1)(\text{tg}^2 \alpha + 1)}

2⋅(−4)3+3(5⋅(−4)−1)((−4)2+1)=−128+3(−21)⋅17=−125−357=125357 \frac{2 \cdot (-4)^3 + 3}{(5 \cdot (-4) - 1)((-4)^2 + 1)} = \frac{-128 + 3}{(-21) \cdot 17} = \frac{-125}{-357} = \frac{125}{357}

Детальне рішення

Для знаходження значень тригонометричних дробів, коли відомий тангенс, застосовуємо метод переходу до однорідних виразів однакового степеня. Довідник: Властивості тригонометричних функцій.

  • У першому пункті чисельник та знаменник мають перший степінь. Поділивши обидві частини дробу на cos⁡α \cos \alpha , ми отримуємо вираз, що залежить тільки від tg α \text{tg } \alpha .
  • У другому пункті степінь чисельника дорівнює 3, а знаменника — 1. Щоб скористатися методом ділення на cos⁡3α \cos^3 \alpha , ми множимо знаменник на основну тригонометричну тотожність (sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ), що не змінює значення виразу, але підвищує його степінь до 3.

Популярне у 10 класі