До змісту

ГДЗ до вправи 22.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 22.8

Доведіть тотожність:

2(sin⁡6α+cos⁡6α)−3(sin⁡4α+cos⁡4α)=−1 2 (\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha) - 3 (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) = -1 .

Розв'язок вправи № 22.8

Коротке рішення

1) sin⁡6α+cos⁡6α=(sin⁡2α+cos⁡2α)(sin⁡4α−sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡4α)= \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) =

=1⋅((sin⁡2α+cos⁡2α)2−3sin⁡2αcos⁡2α)=1−3sin⁡2αcos⁡2α = 1 \cdot ((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

2) sin⁡4α+cos⁡4α=(sin⁡2α+cos⁡2α)2−2sin⁡2αcos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha

3) 2(1−3sin⁡2αcos⁡2α)−3(1−2sin⁡2αcos⁡2α)= 2(1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 3(1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) =
=2−6sin⁡2αcos⁡2α−3+6sin⁡2αcos⁡2α=−1= 2 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = -1

Детальне рішення

Для доведення цієї тотожності необхідно виразити суми четвертих та шостих степенів через основну тригонометричну одиницю та добуток квадратів синуса й косинуса. Теорія: Тригонометричні функції.

  • Спочатку перетворюємо вираз у перших дужках, використовуючи формулу суми кубів. Після спрощення він набуває вигляду 1−3sin⁡2αcos⁡2α 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .
  • Вираз у других дужках перетворюємо за допомогою доповнення до повного квадрата. Він дорівнює 1−2sin⁡2αcos⁡2α 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha .
  • Після підстановки спрощених виразів у ліву частину початкового рівняння та розкриття дужок, доданки з добутком sin⁡2αcos⁡2α \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha взаємно знищуються, залишаючи лише число −1-1.

Популярне у 10 класі