ГДЗ до вправи 22.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $ 3(1 - \cos^2 \alpha) + 2 \cos \alpha = -3 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 3 $. Нехай $ \cos \alpha = t, t \in [-1; 1] $.

$ f(t) = -3t^2 + 2t + 3 $. Вершина $ t_0 = \frac{1}{3} \in [-1; 1] $. $ f(\frac{1}{3}) = 3 \frac{1}{3}; f(1) = 2; f(-1) = -2 $.

Max = $ 3 \frac{1}{3} $; Min = -2.

---

2) $ 1 + \sqrt{1 + \cos^2 \alpha} $. Оскільки $ \cos^2 \alpha \in [0; 1] $, вираз змінюється від $ 1 + \sqrt{1+0} $ до $ 1 + \sqrt{1+1} $.

Max = $ 1 + \sqrt{2} $; Min = 2.

---

3) $ 2 \sin^2 \alpha + 3 $. Оскільки $ \sin^2 \alpha \in [0; 1] $, вираз змінюється від $ 2 \cdot 0 + 3 $ до $ 2 \cdot 1 + 3 $.

Max = 5; Min = 3.

• У першому пункті після заміни $ \cos \alpha = t $ досліджуємо квадратичну функцію на відрізку $ [-1; 1] $. Найбільше значення припадає на вершину параболи, оскільки гілки напрямлені вниз.
• У другому пункті під коренем використано тотожність $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Крайні значення виразу залежать від найменшого ($ 0 $) та найбільшого ($ 1 $) значень квадрата косинуса.
• У третьому пункті враховано, що $ \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha = 1 $. Фінальний результат залежить від діапазону значень квадрата синуса.