ГДЗ до вправи 22.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Оскільки $ |\sin x| \le 1 $ та $ |\cos x| \le 1 $, то $ \sin^{14} x \le \sin^2 x $ та $ \cos^{14} x \le \cos^2 x $.

$ f(x) = \sin^{14} x + \cos^{14} x \le \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

При $ x = 0 \Rightarrow f(0) = \sin^{14} 0 + \cos^{14} 0 = 0 + 1 = 1 $.

Відповідь: 1.

Для будь-якого числа $ a $, такого що $ |a| \le 1 $, виконується нерівність $ a^n \le a^2 $, де $ n $ — парне число, більше за 2. Оскільки значення синуса та косинуса належать проміжку $ [-1; 1] $, маємо:

$ \sin^{14} x \le \sin^2 x \quad \text{та} \quad \cos^{14} x \le \cos^2 x $.

Додавши ці нерівності, отримуємо: $ \sin^{14} x + \cos^{14} x \le \sin^2 x + \cos^2 x $. Згідно з основною тригонометричною тотожністю, права частина дорівнює 1. Найбільше значення досягається в точках, де одна з функцій дорівнює $ \pm 1 $, а інша — нулю (наприклад, при $ x = \frac{\pi k}{2} $).