ГДЗ до вправи 27.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.

При яких значеннях параметра $a$ має розв’язки рівняння $\cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = -a^2 - 1$ ?

Рівняння має розв'язки, якщо $-1 \le -a^2 - 1 \le 1$ .

1) $-a^2 - 1 \le 1 \Rightarrow a^2 \ge -2$ (виконується для будь-якого $a$ ).

2) $-a^2 - 1 \ge -1 \Rightarrow a^2 \le 0$ .

Єдиним значенням, що задовольняє умову, є $a = 0$ .

Відповідь: $a = 0$ .

Для будь-якого аргументу значення косинуса не може бути меншим за $-1$ або більшим за $1$ . Довідник: Властивості тригонометричних функцій.

Крок 1: Аналізуємо вираз у правій частині рівняння. Оскільки $a^2 \ge 0$ , то вираз $-a^2 - 1$ завжди буде меншим або дорівнюватиме $-1$ .
Крок 2: Область значень функції косинус потребує, щоб права частина потрапляла в межі $[-1; 1]$ .
Крок 3: Поєднуючи ці два факти, бачимо, що єдине спільне значення — це число $-1$ . Рівність $-a^2 - 1 = -1$ досягається тільки тоді, коли $a = 0$ . При будь-яких інших $a$ значення виразу буде меншим за $-1$ , і рівняння не матиме розв'язків.

Популярне у 10 класі