ГДЗ до вправи 27.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\cos \frac{2\pi}{x} = 1 \Rightarrow \frac{2\pi}{x} = 2\pi k \Rightarrow \frac{1}{x} = k \Rightarrow x = \frac{1}{k}, \quad k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.

---

2) $\cos \pi\sqrt{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \pi\sqrt{x} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow \sqrt{x} = 2k \pm \frac{5}{6}$.

Оскільки $\sqrt{x} \ge 0$: при $\sqrt{x} = 2k + \frac{5}{6} \Rightarrow k \ge 0, k \in \mathbb{Z}$; при $\sqrt{x} = 2k - \frac{5}{6} \Rightarrow k \ge 1, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \left( 2k \pm \frac{5}{6} \right)^2$ при відповідних $k$.

---

3) $\cos (\cos x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{3} \approx 1,047$. Оскільки $-1 \le \cos x \le 1$, то значення $\pm \frac{\pi}{3}$ та будь-які інші при $k \neq 0$ виходять за межі ОДЗ.

Відповідь: коренів немає.

• У першому рівнянні аргумент не може дорівнювати нулю, тому параметр $k$ виключає нульове значення.
• У другому пункті після знаходження загального вигляду $\sqrt{x}$ обов'язково відсікаємо від'ємні значення правої частини, оскільки арифметичний квадратний корінь завжди невід'ємний.
• У третьому пункті отримуємо ситуацію, де значення косинуса має дорівнювати числу, що більше за одиницю ($\frac{\pi}{3} > 1$). Це призводить до відсутності розв'язків.