ГДЗ до вправи 29.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\text{tg } x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} \in \left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$. Це сталий корінь.

2) $x = a$. Умова єдиного розв'язку:

• $a = -\frac{\pi}{4}$ (корені збігаються);
• $a \le -\frac{\pi}{2}$ (корінь виходить за ОДЗ тангенса або межу інтервалу);
• $a \ge 0$ (корінь поза межами проміжку).

Відповідь: $a \in \left( -\infty; -\frac{\pi}{2} \right] \cup \left\{ -\frac{\pi}{4} \right\} \cup [0; +\infty)$.

• Крок 1: Розв’язуємо тригонометричну частину: $\text{tg } x = -1$. На відрізку від $-90^\circ$ до $0^\circ$ єдиним розв'язком є $-\frac{\pi}{4}$ ($-45^\circ$). Ця точка завжди буде коренем рівняння.
• Крок 2: Другий множник дає корінь $x = a$. Щоб він не створював другого розв'язку, він має або потрапити в ту саму точку $-\frac{\pi}{4}$, або опинитися за межами напіввідкритого інтервалу $\left[ -\frac{\pi}{2}; 0 \right)$.
• Крок 3: Аналізуємо межу $-\frac{\pi}{2}$. Оскільки функція $\text{tg } x$ не визначена при $x = -\frac{\pi}{2}$, значення $a = -\frac{\pi}{2}$ не може бути коренем рівняння, отже при такому $a$ розв'язок залишається єдиним.