До змісту

ГДЗ до вправи 30.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 30.3

Знайдіть область визначення функції:

  1. y=arcctg xy = \sqrt{\text{arcctg } x};
  2. y=arctg (x−1)y = \sqrt{\text{arctg } (x - 1)}.

Розв'язок вправи № 30.3

Коротке рішення

1) arcctg x≥0\text{arcctg } x \ge 0. Оскільки E(arcctg)=(0;π)E(\text{arcctg}) = (0; \pi), то нерівність виконується для ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}.

Відповідь: D(y)=(−∞;+∞)D(y) = (-\infty; +\infty).

2) arctg (x−1)≥0⇒x−1≥0⇒x≥1\text{arctg } (x - 1) \ge 0 \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.

Відповідь: D(y)=[1;+∞)D(y) = [1; +\infty).

Детальне рішення

Теоретичний довідник: Для функцій виду y=f(x)y = \sqrt{f(x)} область визначення задається нерівністю f(x)≥0f(x) \ge 0. Область значень E(arctg)=(−π2;π2)E(\text{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}), а E(arcctg)=(0;π)E(\text{arcctg}) = (0; \pi). Довідник: Властивості арктангенса та арккотангенса.

  • У першому пункті підкореневий вираз arcctg x\text{arcctg } x завжди набуває значень від 00 до π\pi (не включаючи межі). Оскільки всі ці значення є додатними, корінь визначений для будь-якого дійсного числа xx.
  • У другому пункті функція арктангенс є зростаючою і набуває невід'ємних значень тоді й тільки тоді, коли її аргумент не менший за нуль (arctg t≥0\text{arctg } t \ge 0 при t≥0t \ge 0). Отже, маємо лінійну нерівність x−1≥0x - 1 \ge 0.

Популярне у 10 класі