ГДЗ до вправи 30.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 30.3
Знайдіть область визначення функції:
- $y = \sqrt{\text{arcctg } x}$;
- $y = \sqrt{\text{arctg } (x - 1)}$.
Розв'язок вправи № 30.3
Коротке рішення
1) $\text{arcctg } x \ge 0$. Оскільки $E(\text{arcctg}) = (0; \pi)$, то нерівність виконується для $\forall x \in \mathbb{R}$.
Відповідь: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2) $\text{arctg } (x - 1) \ge 0 \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Відповідь: $D(y) = [1; +\infty)$.
Детальне рішення
Теоретичний довідник: Для функцій виду $y = \sqrt{f(x)}$ область визначення задається нерівністю $f(x) \ge 0$. Область значень $E(\text{arctg}) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, а $E(\text{arcctg}) = (0; \pi)$. Довідник: Властивості арктангенса та арккотангенса.
- У першому пункті підкореневий вираз $\text{arcctg } x$ завжди набуває значень від $0$ до $\pi$ (не включаючи межі). Оскільки всі ці значення є додатними, корінь визначений для будь-якого дійсного числа $x$.
- У другому пункті функція арктангенс є зростаючою і набуває невід'ємних значень тоді й тільки тоді, коли її аргумент не менший за нуль ($\text{arctg } t \ge 0$ при $t \ge 0$). Отже, маємо лінійну нерівність $x - 1 \ge 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.