ГДЗ до вправи 30.31 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 30.31
Розв'яжіть нерівність:
- $\text{arctg } (5x + 3) > -\frac{\pi}{3}$;
- $\text{arcctg } (x - 2) < \frac{5\pi}{6}$.
Розв'язок вправи № 30.31
Коротке рішення
1) $\text{arctg } (5x + 3) > -\frac{\pi}{3} \Rightarrow 5x + 3 > \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) \Rightarrow 5x + 3 > -\sqrt{3} \Rightarrow $
$5x > -3 - \sqrt{3} \Rightarrow x > -\frac{3 + \sqrt{3}}{5}$.
Відповідь: $x \in \left( -\frac{3 + \sqrt{3}}{5}; +\infty \right)$.
2) $\text{arcctg } (x - 2) < \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x - 2 > \text{ctg } \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x - 2 > -\sqrt{3} \Rightarrow x > 2 - \sqrt{3}$.
Відповідь: $x \in (2 - \sqrt{3}; +\infty)$.
Детальне рішення
Для розв'язання нерівностей з оберненими тригонометричними функціями необхідно враховувати їхню монотонність на всій області визначення $\mathbb{R}$. Теорія: Тригонометричні нерівності.
- У першому пункті ми використовуємо властивість зростання функції $y = \text{arctg } t$. Оскільки $-\frac{\pi}{3}$ входить до області значень арктангенса $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$, ми просто беремо тангенс від обох частин, зберігаючи знак нерівності.
- У другому пункті функція $y = \text{arcctg } t$ є спадною. Це означає, що при переході до аргументів знак нерівності змінюється на протилежний. Значення $\frac{5\pi}{6}$ є допустимим, оскільки воно належить інтервалу $(0; \pi)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.