ГДЗ до вправи 30.27 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 30.27
Розв'яжіть рівняння:
- $\cos (\arccos (4x - 9)) = x^2 - 5x + 5$;
- $\sin (\arcsin (x + 2)) = x + 2$.
Розв'язок вправи № 30.27
Коротке рішення
1) $\begin{cases} |4x - 9| \le 1 \\ 4x - 9 = x^2 - 5x + 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 \le 4x \le 10 \\ x^2 - 9x + 14 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 \le x \le 2,5 \\ x_1 = 2, x_2 = 7 \end{cases} \Rightarrow x = 2$.
2) $\begin{cases} |x + 2| \le 1 \\ x + 2 = x + 2 \end{cases} \Rightarrow -1 \le x + 2 \le 1 \Rightarrow -3 \le x \le -1$.
Відповідь: $x \in [-3; -1]$.
Детальне рішення
Теоретичний довідник: Рівності $\cos(\arccos \alpha) = \alpha$ та $\sin(\arcsin \alpha) = \alpha$ справджуються тоді й тільки тоді, коли $|\alpha| \le 1$. Це обмеження визначає область допустимих значень (ОДЗ) для невідомого в таких рівняннях. Довідник: Тригонометричні рівняння.
- У першому пункті після спрощення лівої частини отримуємо квадратне рівняння. Важливою умовою є перебування аргументу арккосинуса в межах від $-1$ до $1$. Знайдені корені 2 та 7 перевіряються на відповідність цій умові. Лише $x=2$ задовольняє ОДЗ.
- У другому пункті після спрощення отримуємо тотожність $x+2=x+2$. Це означає, що будь-яке значення $x$, яке входить в область визначення арксинуса, буде розв'язком. ОДЗ задається нерівністю $|x+2| \le 1$, що дає цілий відрізок значень.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.