До змісту

ГДЗ до вправи 32.45 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 32.45

Розв’яжіть рівняння:

  1. tg(2x+5π3)=2ctg 2x+33\text{tg} \left( 2x + \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \text{ctg } 2x + \frac{\sqrt{3}}{3};
  2. 2ctg x+3tg(x+π6)=−3\frac{2 \text{ctg } x + 3}{\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = -\sqrt{3}.

Розв'язок вправи № 32.45

Коротке рішення

1) tg(2x+5π3)=2ctg 2x+33\text{tg} \left( 2x + \frac{5\pi}{3} \right) = 2 \text{ctg } 2x + \frac{\sqrt{3}}{3}

tg(2x−π3)=2tg 2x+33⇒tg 2x−31+3tg 2x=6+3tg 2x3tg 2x\text{tg} \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{2}{\text{tg } 2x} + \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \frac{\text{tg } 2x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \text{tg } 2x} = \frac{6 + \sqrt{3} \text{tg } 2x}{3 \text{tg } 2x}

3tg22x−33tg 2x=6+3tg 2x+63tg 2x+3tg22x⇒3 \text{tg}^2 2x - 3\sqrt{3} \text{tg } 2x = 6 + \sqrt{3} \text{tg } 2x + 6\sqrt{3} \text{tg } 2x + 3 \text{tg}^2 2x \Rightarrow
−103tg 2x=6-10\sqrt{3} \text{tg } 2x = 6

tg 2x=−35⇒2x=−arctg35+πn⇒x=−0,5arctg35+πn2\text{tg } 2x = -\frac{\sqrt{3}}{5} \Rightarrow 2x = -\text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{5} + \pi n \Rightarrow x = -0,5 \text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\pi n}{2}.

Відповідь: −0,5arctg35+πn2,n∈Z-0,5 \text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}.

2) 2ctg x+3tg(x+π6)=−3⇒2+3tg xtg x=−3⋅tg x+331−33tg x=3tg x+3tg x−3\frac{2 \text{ctg } x + 3}{\text{tg} \left( x + \frac{\pi}{6} \right)} = -\sqrt{3} \Rightarrow \frac{2 + 3 \text{tg } x}{\text{tg } x} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\text{tg } x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \text{tg } x} = \frac{3 \text{tg } x + \sqrt{3}}{\text{tg } x - \sqrt{3}}

(2+3tg x)(tg x−3)=(3tg x+3)tg x⇒(2−43)tg x=23(2 + 3 \text{tg } x)(\text{tg } x - \sqrt{3}) = (3 \text{tg } x + \sqrt{3}) \text{tg } x \Rightarrow (2 - 4\sqrt{3}) \text{tg } x = 2\sqrt{3}

tg x=31−23⇒x=arctg31−23+πn\text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}} \Rightarrow x = \text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}} + \pi n.

Відповідь: arctg31−23+πn,n∈Z\text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}} + \pi n, n \in \mathbb{Z}.

Детальне рішення

Рівняння розв’язуються шляхом перетворення тригонометричних виразів до алгебраїчного вигляду відносно тангенса. Довідник: Формули додавання та тангенс суми.

  • У першому рівнянні кут 5π3\frac{5\pi}{3} представлено як −π3-\frac{\pi}{3} завдяки періодичності тангенса. Після використання формули тангенса різниці рівняння зводиться до лінійного відносно tg 2x\text{tg } 2x.
  • У другому рівнянні котангенс та тангенс суми розписуються через tg x\text{tg } x. Отримане дробово-раціональне рівняння після перехресного множення та спрощення дає значення для основного тригонометричного аргументу.

Популярне у 10 класі