ГДЗ до вправи 32.44 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Умова: $\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{8} \cos 15x$

Помножимо на $16 \sin x \neq 0$: $\sin 16x = 2 \sin x \cos 15x$

$\sin 16x = \sin 16x - \sin 14x \Rightarrow \sin 14x = 0$

$14x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{14}, n \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, отже $n \neq 14k$.

Відповідь: $\frac{\pi n}{14}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 14k$.

---

2) Умова: $\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0,5$

$2 \sin x (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x) = -\sin x$ (при $\sin x \neq 0$)

$(\sin 3x - \sin x) + (\sin 5x - \sin 3x) + (\sin 7x - \sin 5x) + (\sin 9x - \sin 7x) = -\sin x$

$\sin 9x - \sin x = -\sin x \Rightarrow \sin 9x = 0 \Rightarrow 9x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{9}$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, отже $n \neq 9k$.

Відповідь: $\frac{\pi n}{9}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 9k$.

• У першому пункті після множення на $16 \sin x$ ліва частина згортається до $\sin 16x$. Права частина після використання формули добутку $\sin \alpha \cos \beta$ набуває вигляду $\sin 16x - \sin 14x$, що призводить до отримання найпростішого рівняння.
• У другому пункті множення на $2 \sin x$ перетворює кожен косинус у різницю синусів. Отриманий ланцюжок скорочується, залишаючи лише перший та останній члени телескопічної суми.