ГДЗ до вправи 32.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sin 2x + 2 \sin x = 0 \Rightarrow 2 \sin x (\cos x + 1) = 0$

— $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$

— $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ (входить до першої серії)

Відповідь: $\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) $\sin 2x - \cos x - 2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x (2 \sin x - 1) - (2 \sin x - 1) = 0$

$(\cos x - 1)(2 \sin x - 1) = 0 \Rightarrow \cos x = 1$ або $\sin x = \frac{1}{2}$.

Відповідь: $2\pi n; (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

3) $1 - \cos 8x = \sin 4x \Rightarrow 2 \sin^2 4x - \sin 4x = 0 \Rightarrow \sin 4x (2 \sin 4x - 1) = 0$

— $\sin 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$

— $\sin 4x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$

Відповідь: $\frac{\pi n}{4}; (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

4) $(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0 \Rightarrow 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 \Rightarrow$
$\sin 2x (2 \cos x + 1) = 0$

— $\sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$

— $\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Відповідь: $\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

---

5) $(\cos 9x - \cos x) - (\cos 7x - \cos 3x) = 0 \Rightarrow$
$-2 \sin 5x \sin 4x + 2 \sin 5x \sin 2x = 0$

$-2 \sin 5x (\sin 4x - \sin 2x) = 0 \Rightarrow -2 \sin 5x (2 \sin x \cos 3x) = 0$.

Відповідь: $\frac{\pi n}{5}; \pi k; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, n, k, m \in \mathbb{Z}$.

---

6) $\sqrt{2} \cos 5x + (\sin 3x - \sin 7x) = 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cos 5x - 2 \sin 2x \cos 5x = 0$

$\cos 5x (\sqrt{2} - 2 \sin 2x) = 0 \Rightarrow \cos 5x = 0$ або $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Відповідь: $\frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}; (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому та третьому пунктах використано формули синуса та косинуса подвійного кута для отримання спільного множника.
• У другому пункті перенесення всіх членів в одну частину дозволило виконати групування за парами, виділяючи спільну дужку $(2 \sin x - 1)$.
• У пунктах 4, 5 та 6 ключовим прийомом є групування крайніх доданків для застосування формул суми або різниці однойменних функцій, що в результаті призводить до появи спільного множника в усьому виразі.