До змісту

ГДЗ до вправи 37.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 37.13

Знайдіть похідну функції:

1) y=(3x−5)6y = (3x - 5)^6;

2) y=sin⁡x3y = \sin \frac{x}{3};

3) y=cos⁡2xy = \cos^2 x;

4) y=2 tg 4xy = 2 \text{ tg } 4x;

5) y=cos⁡(π4−x)y = \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right);

6) y=1−x2y = \sqrt{1 - x^2};

7) y=6x+84y = \sqrt[4]{6x + 8};

8) y=(9x−2)−3y = (9x - 2)^{-3};

9) y=cos⁡xy = \sqrt{\cos x}.

Розв'язок вправи № 37.13

Коротке рішення

1) y=(3x−5)6⇒y′=6(3x−5)5⋅(3x−5)′=6(3x−5)5⋅3=y = (3x - 5)^6 \Rightarrow y' = 6(3x - 5)^5 \cdot (3x - 5)' = 6(3x - 5)^5 \cdot 3 =
=18(3x−5)5= 18(3x - 5)^5

2) y=sin⁡x3⇒y′=cos⁡x3⋅(x3)′=13cos⁡x3y = \sin \frac{x}{3} \Rightarrow y' = \cos \frac{x}{3} \cdot \left( \frac{x}{3} \right)' = \frac{1}{3} \cos \frac{x}{3}

3) y=cos⁡2x⇒y′=2cos⁡x⋅(cos⁡x)′=2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=−sin⁡2xy = \cos^2 x \Rightarrow y' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x

4) y=2 tg 4x⇒y′=2⋅1cos⁡24x⋅(4x)′=8cos⁡24xy = 2 \text{ tg } 4x \Rightarrow y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot (4x)' = \frac{8}{\cos^2 4x}

5) y=cos⁡(π4−x)⇒y′=−sin⁡(π4−x)⋅(π4−x)′=sin⁡(π4−x)y = \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \Rightarrow y' = -\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{\pi}{4} - x \right)' = \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)

6) y=1−x2⇒y′=121−x2⋅(1−x2)′=−2x21−x2=−x1−x2y = \sqrt{1 - x^2} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

7) y=6x+84=(6x+8)14⇒y′=14(6x+8)−34⋅6=32(6x+8)34y = \sqrt[4]{6x + 8} = (6x + 8)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow y' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-\frac{3}{4}} \cdot 6 = \frac{3}{2 \sqrt[4]{(6x + 8)^3}}

8) y=(9x−2)−3⇒y′=−3(9x−2)−4⋅(9x−2)′=−27(9x−2)−4=y = (9x - 2)^{-3} \Rightarrow y' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot (9x - 2)' = -27(9x - 2)^{-4} =
=−27(9x−2)4= -\frac{27}{(9x - 2)^4}

9) y=cos⁡x⇒y′=12cos⁡x⋅(cos⁡x)′=−sin⁡x2cos⁡xy = \sqrt{\cos x} \Rightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Використовуйте правило диференціювання складеної функції: y′=f′(g(x))⋅g′(x)y' = f'(g(x)) \cdot g'(x). Кожен приклад вимагає знаходження похідної від зовнішньої функції (степінь, тригонометрія, корінь) та множення на похідну внутрішнього аргументу. Теорія: Похідна та її застосування.

  • У пунктах 1, 7, 8 зовнішньою функцією є степінь.
  • У пунктах 2, 4, 5 працюємо з табличними похідними синуса, тангенса та косинуса.
  • У пунктах 3, 6, 9 важливо правильно визначити «глибину» вкладеності: наприклад, у 3-му пункті зовнішньою функцією є квадрат, а у 9-му — корінь.

Популярне у 10 класі