До змісту

ГДЗ до вправи 37.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 37.8

Обчисліть значення похідної функції ff у точці x0x_0:

1) f(x)=x−16x,x0=14f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4};

2) f(x)=cos⁡x1−x,x0=0f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}, x_0 = 0;

3) f(x)=x−2−4x−3,x0=2f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2;

4) f(x)=2x2−3x−1x+1,x0=1f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}, x_0 = 1.

Розв'язок вправи № 37.8

Коротке рішення

1) f(x)=x−16x,x0=14f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4}

f′(x)=12x−16f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16

f′(14)=1214−16=12⋅12−16=1−16=−15f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = 1 - 16 = -15

Відповідь: -15.

2) f(x)=cos⁡x1−x,x0=0f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}, x_0 = 0

f′(x)=(cos⁡x)′(1−x)−cos⁡x(1−x)′(1−x)2=−sin⁡x(1−x)+cos⁡x(1−x)2f'(x) = \frac{(\cos x)'(1-x) - \cos x(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{-\sin x(1-x) + \cos x}{(1-x)^2}

f′(0)=−sin⁡0⋅(1−0)+cos⁡0(1−0)2=0+11=1f'(0) = \frac{-\sin 0 \cdot (1-0) + \cos 0}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1

Відповідь: 1.

3) f(x)=x−2−4x−3,x0=2f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2

f′(x)=−2x−3−4(−3x−4)=−2x3+12x4f'(x) = -2x^{-3} - 4(-3x^{-4}) = -\frac{2}{x^3} + \frac{12}{x^4}

f′(2)=−223+1224=−28+1216=−0,25+0,75=0,5f'(2) = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -0,25 + 0,75 = 0,5

Відповідь: 0,5.

4) f(x)=2x2−3x−1x+1,x0=1f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}, x_0 = 1

f′(x)=(4x−3)(x+1)−(2x2−3x−1)⋅1(x+1)2=4x2+4x−3x−3−2x2+3x+1(x+1)2=2x2+4x−2(x+1)2f'(x) = \frac{(4x-3)(x+1) - (2x^2-3x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x+1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+4x-2}{(x+1)^2}

f′(1)=2(1)2+4(1)−2(1+1)2=44=1f'(1) = \frac{2(1)^2 + 4(1) - 2}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1

Відповідь: 1.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Для успішного виконання вправи необхідно знати таблицю похідних елементарних функцій та основні правила диференціювання. Теорія: Похідна та її застосування.

  • У першому пункті використано табличну похідну кореня (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • У другому та четвертому пунктах застосовано правило похідної частки: (uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
  • У третьому пункті використано формулу похідної степеня (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1} для від'ємних цілих чисел.

Популярне у 10 класі