До змісту

ГДЗ до вправи 37.4 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 37.4

Знайдіть похідну функції:

1) y=(x3−2)(x2+1)y = (x^3 - 2)(x^2 + 1);

2) y=(x+5)xy = (x + 5) \sqrt{x};

3) y=x4cos⁡xy = x^4 \cos x;

4) y=x tg xy = x \text{ tg } x.

Розв'язок вправи № 37.4

Коротке рішення

1) y=(x3−2)(x2+1)=x5+x3−2x2−2y = (x^3 - 2)(x^2 + 1) = x^5 + x^3 - 2x^2 - 2

y′=(x5+x3−2x2−2)′=5x4+3x2−4xy' = (x^5 + x^3 - 2x^2 - 2)' = 5x^4 + 3x^2 - 4x

Відповідь: 5x4+3x2−4x5x^4 + 3x^2 - 4x.

2) y=(x+5)x⇒y′=(x+5)′x+(x+5)(x)′=y = (x + 5) \sqrt{x} \Rightarrow y' = (x + 5)' \sqrt{x} + (x + 5) (\sqrt{x})' =
=1⋅x+x+52x=2x+x+52x=3x+52x= 1 \cdot \sqrt{x} + \frac{x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}

Відповідь: 3x+52x\frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}.

3) y=x4cos⁡x⇒y′=(x4)′cos⁡x+x4(cos⁡x)′=4x3cos⁡x−x4sin⁡xy = x^4 \cos x \Rightarrow y' = (x^4)' \cos x + x^4 (\cos x)' = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x

Відповідь: 4x3cos⁡x−x4sin⁡x4x^3 \cos x - x^4 \sin x.

4) y=x tg x⇒y′=(x)′ tg x+x( tg x)′= tg x+xcos⁡2xy = x \text{ tg } x \Rightarrow y' = (x)' \text{ tg } x + x (\text{ tg } x)' = \text{ tg } x + \frac{x}{\cos^2 x}

Відповідь:  tg x+xcos⁡2x\text{ tg } x + \frac{x}{\cos^2 x}.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Знаходження похідної добутку базується на правилі (f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'. Для виразів із дужками можна спочатку виконати множення. Теорія: Похідна та її застосування.

  • У першому пункті ми розкрили дужки, що дозволило знайти похідну степеневої функції простішим способом.
  • У другому пункті використано правило добутку та властивість похідної кореня. Отриманий вираз зведено до спільного знаменника.
  • Для тригонометричних функцій (пункти 3 та 4) застосовано відповідні табличні значення похідних синуса, косинуса та тангенса.

Популярне у 10 класі