ГДЗ до вправи 39.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 39.3
Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$;
2) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$;
3) $f(x) = x + \frac{9}{x}$;
4) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$.
Розв'язок вправи № 39.3
Коротке рішення
Для знаходження проміжків монотонності досліджуємо знак похідної $f'(x)$.
1) $f'(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$. Похідна від'ємна на $(-\infty; 0)$ та $(0; 1)$, додатна на $(1; +\infty)$.
Відповідь: зростає на $[1; +\infty)$, спадає на $(-\infty; 1]$.
2) $f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2}$. Критична точка $x = 1$, точка розриву $x = 0$.
Відповідь: зростає на $[1; +\infty)$, спадає на $(-\infty; 0)$ та $(0; 1]$.
3) $f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2}$. Нулі похідної: $\pm 3$.
Відповідь: зростає на $(-\infty; -3]$ та $[3; +\infty)$, спадає на $[-3; 0)$ та $(0; 3]$.
4) $f'(x) = \frac{(x - 1)(5 - x)}{(3 - x)^2}$. Нулі похідної: $1; 5$, точка розриву $x = 3$.
Відповідь: зростає на $[1; 3)$ та $(3; 5]$, спадає на $(-\infty; 1]$ та $[5; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Достатня умова зростання функції: $f'(x) \ge 0$ на проміжку; умова спадання: $f'(x) \le 0$. У точках розриву функції проміжки обов'язково розриваються. Теорія: Ознаки зростання і спадання функції.
- У першому пункті критична точка $x=0$ має парну кратність ($x^2$), тому при переході через неї знак похідної не змінюється.
- У пунктах 2-4 необхідно враховувати область визначення функції. Точки, у яких знаменник дорівнює нулю, не можуть бути включені в інтервали.
- Для четвертого пункту похідна обчислюється за правилом частки: $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.