ГДЗ до вправи 40.21 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2} \Rightarrow f'(x) = -\sin x + \frac{1}{2}$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Зростає на $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$ (де $\sin x \le 0,5$); спадає на $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$.

Точки екстремуму: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

---

2) $f(x) = \sin 2x - x\sqrt{2} \Rightarrow f'(x) = 2 \cos 2x - \sqrt{2}$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Зростає на $[-\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{\pi}{8} + \pi k]$ (де $\cos 2x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$); спадає на $[\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k]$.

Точки екстремуму: $x_{max} = \frac{\pi}{8} + \pi k$, $x_{min} = -\frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

• У першому пункті похідна $f'(x) = 0,5 - \sin x$. Функція зростає там, де синус менший або дорівнює 0,5. Це відповідає нижній дузі кола від $-\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.
• У другому пункті використовуємо похідну складеної функції. Оскільки аргумент синуса — $2x$, період точок екстремуму скорочується до $\pi$.
• Аналіз знаків проводиться за допомогою графіка косинуса або одиничного кола, враховуючи зсув аргументу.