ГДЗ до вправи 40.25 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Дослідимо функції за допомогою похідної на їхній області визначення.

1) $f(x) = x^2\sqrt{x + 2}$. ОДЗ: $x \ge -2$.

$f'(x) = 2x\sqrt{x+2} + \frac{x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x(x+2) + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{5x^2 + 8x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{x(5x + 8)}{2\sqrt{x+2}}$.

Критичні точки: $-1,6; 0$. На $[-2; -1,6]$ — зростає; на $[-1,6; 0]$ — спадає; на $[0; +\infty)$ — зростає.

Відповідь: $x_{max} = -1,6, x_{min} = 0$.

---

2) $f(x) = (x - 2)^2\sqrt{x}$. ОДЗ: $x \ge 0$.

$f'(x) = 2(x-2)\sqrt{x} + \frac{(x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x-2) + (x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{(x-2)(5x - 2)}{2\sqrt{x}}$.

Критичні точки: $0,4; 2$. На $[0; 0,4]$ — зростає; на $[0,4; 2]$ — спадає; на $[2; +\infty)$ — зростає.

Відповідь: $x_{max} = 0,4, x_{min} = 2$.

---

3) $f(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{x - 1}}$. ОДЗ: $x > 1$.

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x-1} - (3x+1)\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} = \frac{6x - 6 - 3x - 1}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{3x - 7}{2(x-1)^{3/2}}$.

Критична точка: $\frac{7}{3}$. На $(1; \frac{7}{3}]$ — спадає; на $[\frac{7}{3}; +\infty)$ — зростає.

Відповідь: $x_{min} = \frac{7}{3}$.

• У першому та другому пунктах ми зводимо вираз похідної до спільного знаменника, після чого аналізуємо знак чисельника (квадратного тричлена).
• У третьому пункті при диференціюванні частки знаменник похідної завжди додатний в області визначення, тому напрямок монотонності залежить лише від лінійного виразу в чисельнику.
• Зміна знака похідної з «+» на «–» відповідає максимуму, а з «–» на «+» — мінімуму.