До змісту

ГДЗ до вправи 40.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 40.8

Функція y=f(x)y = f(x) диференційовна на множині дійсних чисел. На рисунку 40.22 зображено графік її похідної. Укажіть точки максимуму і мінімуму функції y=f(x)y = f(x).

Розв'язок вправи № 40.8

Коротке рішення

Точки екстремуму функції f(x)f(x) — це точки перетину графіка її похідної f′(x)f'(x) з віссю OxOx.

Згідно з рисунком 40.22, графік похідної перетинає вісь абсцис у точках x=−3,x=2,x=4,x=6x = -3, x = 2, x = 4, x = 6.

  • У точках x=−3x = -3 та x=4x = 4 похідна змінює знак з «–» на «+». Це точки мінімуму.
  • У точках x=2x = 2 та x=6x = 6 похідна змінює знак з «+» на «–». Це точки максимуму.

Відповідь: xmin=−3;4x_{min} = -3; 4; xmax=2;6x_{max} = 2; 6.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Поведінка функції f(x)f(x) повністю визначається знаком її похідної. Коли f′(x)>0f'(x) > 0, функція зростає; коли f′(x)<0f'(x) < 0 — спадає. Точки, де графік похідної перетинає вісь OxOx, є претендентами на екстремуми. Теорія: Зв'язок між графіком похідної та екстремумами функції.

  • Аналізуємо рисунок 40.22. Одиничний відрізок відповідає одній клітинці сітки.
  • Шукаємо значення xx, при яких ордината графіка y=f′(x)y = f'(x) дорівнює нулю.
  • Для кожної такої точки дивимось на "перехід": якщо графік йде з-під осі OxOx над нею, функція змінює спадання на зростання (мінімум). Якщо навпаки — зростання на спадання (максимум).
  • Точка x=−3x = -3: графік переходить з від'ємної зони в додатну. Мінімум.
  • Точка x=2x = 2: графік переходить з додатної зони в від'ємну. Максимум.
  • Аналогічно визначаємо точки 44 та 66.

Популярне у 10 класі