ГДЗ до вправи 41.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Нехай доданки дорівнюють $x, 2x$ та $z$. За умовою $x + 2x + z = 180 \Rightarrow z = 180 - 3x$.

2) Оскільки числа невід'ємні, то $x \ge 0$ та $180 - 3x \ge 0 \Rightarrow x \in [0; 60]$.

3) Складемо функцію добутку: $f(x) = x \cdot 2x \cdot (180 - 3x) = 2x^2(180 - 3x) = 360x^2 - 6x^3$.

4) Знайдемо найбільше значення на $[0; 60]$ через похідну: $f'(x) = 720x - 18x^2 = 18x(40 - x)$.

5) Критичні точки: $0$ та $40$. На кінцях відрізка $f(0) = 0, f(60) = 0$.

6) У точці $x = 40$: $f(40) = 2 \cdot 1600 \cdot 60 = 192000$.

7) Доданки: $x = 40$, $2x = 80$, $z = 180 - 3 \cdot 40 = 60$.

Відповідь: 40, 80, 60.

• Похідна функції добутку показує характер монотонності: на проміжку $[0; 40]$ функція зростає, а на $[40; 60]$ спадає. Це підтверджує, що в точці $x=40$ досягається найбільше значення.
• Важливо враховувати межі області визначення, оскільки на кінцях добуток стає нульовим (мінімальним).
• Три доданки $40, 80, 60$ у сумі дають 180, а пара $40, 80$ задовольняє співвідношенню $1:2$.