До змісту

ГДЗ до вправи 41.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Умова вправи № 41.13

У трикутник ABCABC вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на стороні ACAC, а дві інші — на сторонах ABAB і BCBC. Знайдіть найбільше значення площі такого прямокутника, якщо AC=12 смAC = 12\text{ см}, BD=10 смBD = 10\text{ см}, де BDBD — висота трикутника ABCABC.

Розв'язок вправи № 41.13

Коротке рішення

Рисунок до вправи 41.13

1) Нехай висота прямокутника h=xh = x. Тоді висота малого трикутника (подібного до ABCABC) дорівнює 10−x10 - x.

2) З подібності трикутників випливає відношення сторін: wAC=10−xBD⇒w12=10−x10⇒w=6(10−x)5=12−1,2x\frac{w}{AC} = \frac{10 - x}{BD} \Rightarrow \frac{w}{12} = \frac{10 - x}{10} \Rightarrow w = \frac{6(10 - x)}{5} = 12 - 1,2x.

3) Функція площі: S(x)=x⋅(12−1,2x)=12x−1,2x2S(x) = x \cdot (12 - 1,2x) = 12x - 1,2x^2, де x∈(0;10)x \in (0; 10).

4) Знайдемо максимум через похідну: S′(x)=12−2,4xS'(x) = 12 - 2,4x. Прирівняємо до нуля: 12−2,4x=0⇒x=5 см12 - 2,4x = 0 \Rightarrow x = 5\text{ см}.

5) Найбільша площа: S(5)=12⋅5−1,2⋅25=60−30=30 см2S(5) = 12 \cdot 5 - 1,2 \cdot 25 = 60 - 30 = 30\text{ см}^2.

Відповідь: 30 см230\text{ см}^2.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Площа прямокутника, вписаного в трикутник, залежить від його положення. Завдяки подібності трикутників ми виражаємо основу через висоту, отримуючи квадратичну залежність. Теорія: Застосування похідної до геометричних задач.

  • Позначимо через xx висоту прямокутника, проведену до сторони ACAC. Тоді висота малого трикутника, що утворився зверху, дорівнює BD−xBD - x.
  • Оскільки малий трикутник подібний до великого за двома кутами, їхні відповідні лінійні елементи пропорційні: wAC=BD−xBD\frac{w}{AC} = \frac{BD - x}{BD}.
  • Підставивши відомі значення AC=12AC=12 та BD=10BD=10, отримуємо формулу ширини w=12−1,2xw = 12 - 1,2x.
  • Максимум площі S=w⋅xS = w \cdot x досягається в точці x=5x = 5, що є серединою висоти трикутника.

Популярне у 10 класі